微积分笔记：导数、微分与中值定理

“对于驾车而言，某一时刻的速度必然等于平均速度。”这是原来记中值定理时最直观的一句话。

这篇合并了 2018 年的《微分》和《中值定理》两份笔记。《微分》当时只有两张图片，如今连同中值定理的四张图都无法恢复。因此，下面的导数定义和计算例子是本次整理补充的文字，不是对原图的复原。

从平均变化率到导数

在区间 [a, b] 上，函数的平均变化率为：

\begin{gathered} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ a<b \end{gathered}

如果 f 表示位置、横轴表示时间，这就是这段时间内的平均速度。把区间不断缩短，才会走到某一时刻的瞬时变化率：

f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h

这个极限存在时，函数在该点可导。例如 f(x) = x²：

\frac{(x+h)^2-x^2}h=2x+h\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2x

实际增量是 Δy = f(x + Δx) − f(x)。函数在 x 处可导时，微分给出它的一阶线性近似：

\begin{gathered} \mathrm dy=f'(x)\,\mathrm dx\\ \mathrm dx=\Delta x \end{gathered}

仍然看 f(x) = x²，在 x = 3、Δx = 0.01 时，实际增量是 0.0601，微分是 6 × 0.01 = 0.06。两者很接近，但不是完全相等。

设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导。那么至少存在一个 c ∈ (a, b)，使得：

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

这正是开头那句话对应的数学形式。以 f(x) = x² 在 [1, 3] 上为例，平均变化率是 4，而 f'(2) = 4。

连续性和可导性的条件不能省略。例如 f(x) = |x| 在 [-1, 1] 上连续，却在 0 处不可导。它的平均变化率是 0，但区间内有导数的点，其导数只有 -1 或 1。

原笔记把 MVT 直接称为罗尔定理，这里需要纠正。若在前面的条件之外，还有 f(a) = f(b)，那么中值定理右侧为 0：

f'(c)=0

这就是罗尔定理的结论。以 f(x) = x² 在 [-1, 1] 上为例，两端函数值相同，中间 c = 0 处的导数为 0。

原稿的推论漏掉了导数符号，写成“f(x) 大于零则递增”。函数值为正，只能说明图像在横轴上方，不能决定它是否递增。

在相应区间满足连续、可导条件时：

“某一个点的导数为零”不等于函数在整段区间恒定。x² 在 0 处导数为零，但它显然不是常函数。