概率与统计笔记：均值、方差和二项分布

原来分开记了概率公式和一份统计学提纲，后者只有“均值、直方图、方差”这些关键词。这次把两份放在一起，补上关键词之间的关系，顺便修正二项分布公式里混用的 p、q。

先分清总体和样本

总体是想研究的全部对象，样本是实际取得的那一部分。总体均值常记作 μ，样本均值记作 x̄：

\bar x=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i

样本统计量与总体参数之间会有差异。原笔记把抽样误差写成 μ − x̄，这里把方向统一为 x̄ − μ；无论选哪个方向，都要说明是在比较哪两个量。

随机抽样有助于控制选择偏差，但不代表一次随机抽样必然准确。便利样本只取容易接触的人或对象，推广到总体时尤其要考虑代表性。

原稿还记了单盲和双盲。这是研究设计中减少知情影响的方法，具体哪些参与者不知道分组，需要在研究中明确，而不是只写一个名称。

频数是某类或某个区间出现的次数，频率是它占全部观测的比例。

偏斜、均匀、多峰和近似正态，都可以用来描述分布形状，但应当依据数据判断。

四分位距 IQR = Q3 − Q1 描述中间一半数据的跨度。常见箱线图把低于 Q1 − 1.5 IQR 或高于 Q3 + 1.5 IQR 的观测标为潜在异常点；这是筛查规则，不能据此直接认定数据错误。

总体有 N 个数值时：

\begin{gathered} \sigma^2=\frac1N\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2\\ \sigma=\sqrt{\sigma^2} \end{gathered}

用样本估计总体方差时，常用分母 n − 1：

\begin{gathered} s^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\\ n>1 \end{gathered}

这就是原提纲中的贝塞尔校正。在独立同分布且总体方差有限的条件下，这样得到的样本方差是总体方差的无偏估计。分母用 n 还是 n − 1，取决于是在描述眼前这组数据，还是估计背后的总体方差。

设随机变量 X 可能取 x₁, x₂, …, xₙ，对应概率为 p₁, p₂, …, pₙ，必须满足：

\begin{gathered} 0\le p_i\le1\\ \sum_{i=1}^n p_i=1 \end{gathered}

某一区间的概率，是把落在该区间内的取值对应的概率加起来：

P(a\le X\le b)=\sum_{i:\,a\le x_i\le b}p_i

原稿写成了 P(a ≤ b)，漏掉了随机变量 X。

期望和方差分别为：

E(X)=\sum_{i=1}^n x_ip_i

\begin{aligned} \operatorname{Var}(X)&=\sum_{i=1}^n(x_i-E(X))^2p_i\\ &=E(X^2)-E(X)^2 \end{aligned}

方差描述取值围绕期望的离散程度。做线性变换后：

\begin{gathered} \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)\\ \sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X \end{gathered}

例如公平六面骰子的点数，期望为 3.5，方差为 35/12。期望不一定是随机变量实际能取到的值。

独立重复进行 n 次试验，每次成功概率相同，均为 p。令 X 表示成功次数，则 X ~ B(n, p)：

\begin{gathered} P(X=r)=\binom nr p^r(1-p)^{n-r}\\ r=0,1,\ldots,n \end{gathered}

\begin{gathered} E(X)=np\\ \operatorname{Var}(X)=np(1-p)\\ \sigma_X=\sqrt{np(1-p)} \end{gathered}

如果另记 q = 1 − p，方差就是 npq。原稿的 np(1 − q) 会把失败概率又取一次补集，不能混用。

比如独立抛三次公平硬币，恰好两次正面的概率为 3/8。二项式展开也解释了为什么这些概率相加等于 1：

(a+b)^n=\sum_{r=0}^n\binom nr a^rb^{n-r}

这里从 r 等于 0 开始求和，原稿从 1 开始会漏掉第一项。